1+1=2?

에디슨은 "물방울끼리 뭉치면 하나가 되는데 왜 2입니까" 라는 질문을 한다. 

가장 어리석은 질문에 수학자들은 수십년 동안 논쟁을 하였다. 

 

<동양의 구고현 정리 vs 서양의 피타고라스의 정리>

인간의 삶은 비슷하며 생활양식도 기후, 지형, 위치에 따라 차이가 나지만 인간이라는 속성은 변하지 않는다.

그래서 서양과 동양과 비슷한 수학공식을 가지고 있다. 

하지만, 동양은 수학을 실생활에 적용할 수 있는 분야로 한정지었다. 

서양은 반대로 피타고라스 정리를 이용하여 기하, 백터 등 실생활에 당장 필요하지 않을 것 같은 일반화 시도를 하였다.

현대와는 정반대로 서양과 동양은 다르게 수학에 접근하였다. 

왜 그렇게 된 것일까?

 

[플라톤]

사실 동양과 서양의 차이는 철학이 다르다는 것이다. 

즉, 출발선이 달랐기에 결과도 달랐다는 결과론적인 이야기다. 그 중심엔 플라톤이 있었다.

플라톤은 이데아 이론을 통해 인간이 보는 세상이 전부가 아닌 그 세계 너머 이상향을 동경했다. 

플라톤은 깨달음을 갈망했고 그의 이데아는 수학이었다. 

수학은 사실 번역이 필요없는 언어다. 1+1=2라는 것은 어느 나라에 가도 똑같은 대답이 나올 수 있다. 

그렇기에 수학은 플라톤이 진리탐구의 수단을 보기에 적합했다. 

 

[연역적 방법론]

서양인들이 "왜?" 라는 단어에 집착하도록 유도했다. 

인간은 어떻게 라는 접근방법으로 구체적인 이유를 알지 않고 드러나는 문제점을 해결하기 급급했다. 

문제를 해결하기만 하면 되었지 구체적으로 왜 이렇게 되었는지는 머리 아프고 관심 밖에 일이었다. 

유클리드는 이 연역적 방법론으로 왜 이런 구도와 흐름이 흘러가는지 유클리드 원론에 적어놓았다. 

그렇기에 서양은 동양과 다르게 미적분, 삼각함수와 같이 추상적이고 일반화된 수학 이론을 만들 수 있었다. 

그리고 이 연역적 방법론의 아버지는 플라톤이다. 

 

[그럼 1+1=?]

1+1은 2다. 원래 그렇다고 결론이 났다. 이 믿음은 굳게 이어지다가 흔들리기 시작하였다. 

 

<유클리드 기하학>

뻔하기 뻔한 문제와 답에 이이를 제기하는 사람은 없다. 

서양 수학자들도 마찬가지다. 

플라톤이 수학적 지식이 미리 정해져있다라고 말했고 후대 수학자들도 철썩같이 믿고 있었다. 

하지만 또라이가 세상을 바꾼다.

몇몇 수학자들은 이 뻔한 문제와 답에 이이를 제기했고 끊임없이 증명을 하려했다. 

그래서 그들이 깨달은 것이 있다. 

틀려도 그만 맞아도 그만인 무모순 수학이 등장했다. 

[논리주의자 등장]

진리가 진리가 아니면서 이탈자가 생겨났다. 

대표적으로 프레게라는 수학자가 있다. 

프레게는 수학은 이미 정해진 것이 아니라 논리적 관계를 나타내는 내용에 불과하다.

그래서 수학은 편의상 우리가 정한 것일 뿐이다. 

 

[러셀의 역설]

- 이발사의 역설 

1. 이발사왈 "자신의 수염을 스스로 깎지 않는자들의 수염을 잘라주지만 스스로 깎은 자들은 잘라주지 않을 것이다"

2. 그러면 이발사의 수염은 누가 깎아주는가?

3. 남이 잘라준다면? 자기가 스스로 깎지 않으니 이발사 본인이 깎아주어야한다. 

따라서 이발사는 이도저도 못하는 모순이 발생한다. 

러셀의 역설로 만든 이론이 집합이론이다. 

코딩에서 배열로 사용하는 것이 이 집합이론이다. 

 

프레게는 수학을 논리의 언어로 만들려고 했다. 그러나 러셀의 역설로 급브레이크에 걸렸다. 

따라서 논리의 언어로 만드는 것이 불가능해졌다. 

 

[무한의 등장]

칸토어는 무한의 영역을 건드렸다. 

그는 금기를 건드린 죄로 쓸쓸하게 죽었지만 무한에도 대소가 있다는 것을 밝혔다. 

= 모든 집합의 집합보다 더 큰 집합이 존재한다. 라는 말장난에 꼬여갔다. 

 

[형식주의자 등장]

비트겐슈타인은 논리 실증주의를 주창했다.

= 의미있는 명제만을 다루어야한다는 주장. 

수학은 참, 거짓이 명확하기에 가능했다. 

형식주의자들은 수학을 간결하게 만들었다. 

그들은 수학을 기호의 놀음이라고 말한다. 

이 이론으로 러셀의 역설을 논파할 수 있다. 

역설이 나는 명제를 만들지 않으면 된다! 

이를 바탕으로 기호끼리 관계를 서술 정리하여 형식체계를 만들었다. 

이젠 수학은 신의 영역이 아닌 인간의 영역이 된 것이다. 

 

[불완전성의 등장]

쿠트르 괴델 + 폰 노이만 

= 형식주의자가 난무하던 시대에 골수 플라톤주의자였다. 

그는 이미 논파된 플라톤주의로 반 플라톤주의인 형식주의자들에게 불완전성의 정리를 내놓았다.

불완전성 정리란?

1. 수학은 증명 불가한 명제가 존재한다. 

2. 수학은 완벽하지 않고 무모순성을 증명 할 수 없다. 

 

[앨런 튜링]

= 인간은 불완전성을 유한한 방법으로 풀 수 없다. 그럼 인간은?

그가 수학적 문제를 풀기 위해 만든 기계가 바로

컴퓨터다. 

 

[아직도 끊이지 않는 논쟁]

플라톤주의와 형식주의자들의 수학 대결은 현재 진행중이라고 한다. 

게다가 1+1=2란 명제도 아직 풀리지 않았다. 

이 어리석은 질문 하나로 인해 인간은 이렇게 윤택한 혜택을 누릴 수 있게 되었다.